W świecie Klocków Cuisenaire’a abstrakcyjne pojęcia matematyczne, takie jak liczby parzyste, nieparzyste i pierwsze, nabierają konkretnego, wizualnego kształtu. Dzięki prostym operacjom na klockach, dzieci mogą samodzielnie odkryć i zdefiniować te terminy, co prowadzi do głębszego i bardziej intuicyjnego zrozumienia.
Przyjmijmy, że przyjmujemy, że biały klocek \(\text{BIA} = 1\).
Definicje w oparciu o klocki Cuisenaire’a
Liczba parzysta: To każda liczba, którą można przedstawić za pomocą czerwonego klocka (CZE) lub pociągu zbudowanego wyłącznie z czerwonych klocków.
- Przykłady:
- CZE (\(2\)),
- FIO (\(4\) – dwa klocki CZE),
- CZI (\(6\) – trzy klocki CZE),
- BRĄ (\(8\) – cztery klocki CZE),
- POM (\(10\) – pięć klocków CZE).
Liczba nieparzysta: To każda liczba, której nie da się ułożyć wyłącznie z czerwonych klocków. Gdy próbujesz ułożyć ją z czerwonych klocków, zawsze trzeba będzie dołożyć jeden biały klocek.
- Przykłady:
- BIA (\(1\)),
- JZI (\(3 = \text{CZE} + \text{BIA}\)),
- ŻÓŁ (\(5 = 2\cdot\text{CZE} + \text{BIA}\)),
- CZA (\(7=3\cdot\text{CZE} + \text{BIA}\)),
- NIE (\(9 =4\cdot\text{CZE} + \text{BIA}\)).
Liczba pierwsza: To liczba, której nie da się utworzyć za pomocą jednokolorowego pociągu złożonego z klocków innych niż białe. Oznacza to, że jej długość nie jest wielokrotnością żadnego klocka poza białym.
- Przykłady:
- JZI (\(3\)),
- ŻÓŁ (\(5\)),
- CZA (\(7\)).
Liczba złożona to każda liczba, która nie jest liczbą pierwszą (ani zerem lub jedynką), czyli ma więcej niż dwa czynniki: \(1\), siebie samą i co najmniej jeden inny czynnik. Klocki reprezentujące liczby złożone można ułożyć w jednokolorowe pociągi, gdzie klocki w pociągu są mniejsze niż cała długość klocka i jednocześnie większe od klocka reprezentującego liczbę \(1\). Klocki, z których można utworzyć taki jednokolorowy pociąg, są dzielnikami liczby złożonej.
- Przykład: Klocek BRĄ (\(8\)) jest liczbą złożoną. Można go utworzyć z:
- Czterech klocków CZE (\(4 \cdot 2 = 8\))
- Dwóch klocków FIO (\(2 \cdot 4 = 8\))
CZE (\(2\)) i FIO (\(4\)) są dzielnikami liczby \(8\).
Ćwiczenia z klockami
Pozwólmy dzieciom samodzielnie eksperymentować z klockami, aby odkryły poniższe zależności.
Dodawanie i odejmowanie liczb parzystych i nieparzystych:
- Jaki jest wynik dodawania dwóch liczb nieparzystych? (np. JZI + JZI = CZI, czyli \(3+3=6\)) – Wynikiem jest zawsze liczba parzysta.
- Jaki jest wynik dodawania dwóch liczb parzystych? (np. CZE + FIO = CZI, czyli \(2+4=6\)) – Wynikiem jest zawsze liczba parzysta.
- Co się dzieje, gdy odejmiemy liczbę nieparzystą od innej liczby nieparzystej? (np. ŻÓŁ – JZI = CZE, czyli \(5-3=2\)) – Wynikiem jest zawsze liczba parzysta.
- Co się dzieje, gdy odejmiemy liczbę nieparzystą od liczby parzystej? (np. FIO – JZI = BIA, czyli \(4-3=1\)) – Wynikiem jest zawsze liczba nieparzysta.
- Co się dzieje, gdy odejmiemy liczbę parzystą od liczby parzystej? (np. CZI – CZE = FIO, czyli \(6-2=4\)) – Wynikiem jest zawsze liczba parzysta.
Mnożenie liczb parzystych i nieparzystych:
- Co się dzieje, gdy liczba parzysta jest pomnożona przez liczbę parzystą? (np. \(\text{CZE} \cdot \text{FIO} = \text{BRĄ}\), czyli \(2 \cdot 4 = 8\)) – Wynikiem jest zawsze liczba parzysta.
- Co się dzieje, gdy liczba parzysta jest pomnożona przez liczbę nieparzystą? (np. \(\text{CZE} \cdot \text{JZI} = \text{CZI}\), czyli \(2 \cdot 3 = 6\)) – Wynikiem jest zawsze liczba parzysta.
- Co się dzieje, gdy liczba nieparzysta jest pomnożona przez liczbę nieparzystą? (np. \(\text{JZI} \cdot \text{ŻÓŁ} = \text{POM} + \text{JZI}\), czyli \(3 \cdot 5 = 15\)) – Wynikiem jest zawsze liczba nieparzysta.
Liczby pierwsze i złożone
- Czy istnieją jakiekolwiek liczby pierwsze, które są liczbami parzystymi? Tak, tylko jedna: \(2\) (czerwony klocek).
- Dlaczego nie ma parzystych liczb pierwszych większych niż \(2\)? Ponieważ każda liczba parzysta większa niż \(2\) może być utworzona przez pociąg z czerwonych klocków (czyli jest podzielna przez \(2\)). Zatem każda taka liczba ma dzielnik \(2\) (i samą siebie, i \(1\)), więc nie może być pierwsza.
- Czy wszystkie klocki o nieparzystej długości reprezentują liczby pierwsze? Nie. Na przykład, klocek NIE (\(9\)) jest nieparzysty, ale nie jest liczbą pierwszą, ponieważ można go utworzyć z trzech klocków JZI (\(3 \cdot 3 = 9\)).
- Co się dzieje, gdy weźmiemy jednokolorowy pociąg reprezentujący liczbę złożoną i dodamy do niego inny klocek mniejszy niż klocki w pociągu? Czy czasami daje to liczbę pierwszą? Czy zawsze?
- Przykład: pociągi z jasnozielonych klocków JZI, reprezentujących liczbę \(3\).
Pociąg: JZI + JZI (\(6\)) – to jest liczba złożona.
Jeśli dodamy do niego BIA (\(1\)): JZI + JZI + BIA \(7\).
Czy \(7\) to liczba pierwsza?
Tak, klocka CZA (\(7\)) nie da się zbudować z jednokolorowych pociągów innych niż białe.
Pociąg: JZI + JZI + JZI (\(9\)) – to jest liczba złożona.
Jeśli dodamy do niego BIA (\(1\)): JZI + JZI + JZI + BIA (\(10\)).
Czy \(10\) to liczba pierwsza?
Nie.
Pociąg: JZI + JZI + JZI (\(9\)) – to jest liczba złożona.
Jeśli dodamy do niego CZE (\(2\)): JZI + JZI + JZI + CZE (\(11\)).
Czy \(11\) to liczba pierwsza?
Tak.
Pociąg: JZI + JZI + JZI + JZI (\(12\)) – to jest liczba złożona.
Jeśli dodamy do niego BIA (\(1\)): JZI + JZI + JZI + JZI + BIA (\(13\)).
Czy \(13\) to liczba pierwsza?
Tak.
Pociąg: JZI + JZI + JZI + JZI + JZI (\(15\)) – to jest liczba złożona.
Jeśli dodamy do niego CZA (\(2\)): JZI + JZI + JZI + JZI + JZI + CZA (\(17\)).
Czy \(17\) to liczba pierwsza?
Tak.
To doskonałe ćwiczenie, które pokazuje, że dodanie małego klocka do liczby złożonej nie zawsze tworzy liczbę pierwszą, ale czasami tak. Zmusza to do głębszego zastanowienia się nad definicjami i właściwościami liczb.
Klocki Cuisenaire’a umożliwiają dzieciom wizualne odkrywanie i rozumienie fundamentalnych pojęć w sposób, który jest zarówno angażujący, jak i skuteczny w budowaniu solidnych podstaw matematycznych.