Jako nauczycielka matematyki z wieloletnim doświadczeniem, pragnę zwrócić Waszą uwagę na ważny aspekt edukacji matematycznej, który często jest pomijany. Choć logika jest fundamentem tej dziedziny, to bardzo istotne są konwencje, czyli kulturowe narzędzia, które ułatwiają zrozumienie i stosowanie matematycznych koncepcji. Uczenie dzieci matematyki to nie tylko przekazywanie im rządzących nią reguł, ale także wprowadzanie ich w świat tych konwencji, które umożliwiają skuteczne wykonywanie różnych operacji.
Weźmy na przykład dzielenie pisemne, ułamki, trygonometrię czy wykresy funkcji. Sama znajomość reguł logicznych nie wystarczy, aby dziecko mogło swobodnie posługiwać się tymi zagadnieniami. Musi wcześniej poznać konwencje, czyli umowy społeczne, które w przypadku matematyki, są czymś na kształt wspólnego języka, którym zgodzili się posługiwać ludzie.
Systemy liczbowe to konwencje kulturowe
Systemy liczbowe, które stosujemy, są doskonałym przykładem konwencji. To, jak nazywamy i grupujemy liczby, jest wynikiem kulturowego rozwoju. Na przykład, nasz system dziesiętny, w którym grupujemy jednostki w dziesiątki, setki itd., jest tylko jednym z możliwych sposobów liczenia. Logiczne zasady, które regulują proces liczenia, takie jak konieczność zachowania stałej kolejności słów, są osadzone w logice konkretnego systemu liczbowego, którego uczy się dziecko. Jednak sposób, w jaki system konwencjonalny został skonstruowany, aby ułatwić użytkownikom przestrzeganie zasady stałej kolejności, może się różnić w zależności od systemu liczbowego.
System dziesiętny: narzędzie, które ułatwia liczenie
Język polski dobrze oddaje strukturę naszego systemu dziesiętnego, w którym dziesięć jednostek niższego rzędu wymieniamy na jedną jednostkę wyższego rzędu. Do dziewięciu liczymy tylko jedności. Od dziesięciu liczymy dziesiątki i jedności. Jest to widoczne w liczbach od dwudziestu w górę. Na przykład, „dwadzieścia jeden” oznacza dwie dziesiątki i jedną jedność. Od stu (dziesięć dziesiątek) liczymy setki, dziesiątki i jedności. „Trzysta czterdzieści pięć” oznacza trzy setki, cztery dziesiątki i pięć jedności. Nasz system pomaga nam utrzymać stałą kolejność etykiet poprzez zrozumienie tych konwencji przegrupowywania jednostek w systemie dziesiętnym.
System Oksapmin: inne spojrzenie na liczby
W Papui Nowej Gwinei, lud Oksapmin używa systemu, w którym liczby są jednocześnie nazwami części ciała. Na przykład, „jeden” to „prawy kciuk”, „dwa” to „prawy palec wskazujący” itd. Choć ten system pozwala na zachowanie stałej kolejności, to brak struktury bazowej ogranicza możliwość operowania dużymi liczbami. System Oksapmin zawiera pomoc mnemoniczną dla kolejności liczebników (dziecko musi po prostu pomyśleć o następnej części ciała, aby przypomnieć sobie kolejny liczebnik). System ten ma jednak dużą wadę: brak struktury bazowej oznacza, że nikt, kto go używa, nie może generować liczb w setkach i tysiącach.
Pomiary: logika a jednostki
Pomiary to kolejny obszar, w którym konwencje odgrywają kluczową rolę. Z jednej strony dzieci muszą zrozumieć logikę pomiarów, na przykład wnioskowanie przechodnie (jeśli \(A=B\) i \(B=C\), to \(A=C\)), ale także nauczyć się jednostek, takich jak centymetry, kilogramy, litry, czy stopnie. Te jednostki są standardami, których używamy przez cały czas, o których rozmawiamy z innymi ludźmi i są one całkowicie arbitralne. Mierzymy długości za pomocą linijek i taśm mierniczych. Oksapmin w Papui Nowej Gwinei używają części ciała (np. długości ramion) jako jednostek miary.
Różnice w systemach pomiarowych
System metryczny (centymetry, metry, kilometry) i system imperialny (cale, stopy, jardy) różnią się od siebie. O ile w Polsce dzieci uczą się tylko systemu metrycznego, to dzieci w USA muszą nauczyć się zasad konwersji nie tylko między jednostkami w danym systemie, ale także zasad zamiany jednostek między różnymi systemami. Niestety te zasady nie są uniwersalne, na przykład:
- 12 cali to 1 stopa;
- 3 stopy to 1 jard;
- 100 centymetrów to 1 metr;
- 1000 metrów to 1 kilometr.
Addytywne i multiplikatywne skale pomiarowe
Warto również zwrócić uwagę na to, jak liczby są powiązane w różnych skalach pomiarowych. W przypadku długości mamy do czynienia z addytywnością, a w przypadku intensywności dźwięku z multiplikatywnością. To pokazuje, jak konwencje wpływają na interpretację liczb. Na przykład, liczby używane do pomiaru długości są addytywne, co wyraża się m.in. w tym, że różnica długości między 1 cm a 2 cm jest taka sama jak między 2 cm a 3 cm i wynosi 1 cm. Natomiast liczby używane do pomiaru natężenia dźwięku są multiplikatywne, czyli różnica między 1 db a 2 db jest znacznie mniejsza niż różnica między 2 db a 3 db, ponieważ dźwięk podwaja się z każdym krokiem na skali: 2 decybele to dwukrotność natężenia 1 decybela, a 3 decybele to dwukrotność natężenia 2.
Trudności dzieci związane z pomiarami
Dzieci często mają trudności z rozumieniem konwencji pomiarowych, takich jak punkt początkowy pomiaru czy sposób używania linijki. Ważne jest, abyśmy jako nauczyciele i rodzice, pomogli im zrozumieć te niuanse. Na przykład, Heraud (1989) wykazał, że dzieci w wieku około 5 lub 6 lat mogą nie rozumieć, że aby zmierzyć obiekt dłuższy niż linijka, należy zaznaczyć koniec linijki na obiekcie i powtórzyć pomiar od tego punktu. Innym problemem dla niektórych dzieci w tym wieku jest decyzja, od którego miejsca mierzyć, od 0 czy od 1 (Nunes, Light i Mason, 1993).
Konwencje wzmacniają logiczne myślenie
Nauka konwencji może wzmocnić zdolność dzieci do logicznego myślenia. System dziesiętny, z jego strukturą, staje się narzędziem myślenia, które ułatwia rozwiązywanie problemów. Innymi słowy, może to nie być tylko kwestia nabycia przez dzieci poprawnej logiki i zastosowania jej do nauki nowych zagadnień matematycznych. Zdolności dzieci do posługiwania się logicznym myśleniem, może się radykalnie poprawić w wyniku nauki systemów opracowanych kulturowo.
System dziesiętny jako narzędzie myślenia
Dzięki systemowi dziesiętnemu, dzieci mogą z łatwością „generować” duże liczby, o ile rozumieją strukturę systemu. Bez niego, liczenie byłoby o wiele trudniejsze. Dzieci mogłyby, gdyby miały czas i cierpliwość, liczyć do miliona i dalej.
Systemy liczbowe ustne i pisemne
W naszej kulturze mamy dwa rodzaje systemów liczbowych: ustny i pisemny. Oba są systemami dziesiętnymi, ale różnią się sposobem reprezentacji liczb. System ustny używa różnych słów dla jednostek, dziesiątek, setek itd., podczas gdy system pisemny używa pozycji cyfr. Wspólną cechą jest to, że oba są systemami dziesiętnymi. Z kolei ich cechą odróżniającą jest to, że ustny system liczbowy używa odrębnych wyrażeń do oznaczania jedności, dziesiątek, setek itp. (pięć, pięćdziesiąt, pięćset), podczas gdy system pisemny używa pozycji od prawej do lewej (wartość cyfry 5 w 50 i 500 jest różna, chociaż sama cyfra jest taka sama).
Konsekwencje różnych reprezentacji liczb
Różne reprezentacje liczb mają dwie konsekwencje. Po pierwsze, zapewniają różne źródła doświadczeń w nauce zasad logicznych. Kiedy ta sama logika jest osadzona w różnych systemach kulturowych – a to często zdarza się w matematyce – może się okazać, że łatwiej jest zrozumieć osadzoną logikę, eksplorując jeden system niż drugi. Ma to poważne implikacje dla nauczania matematyki, ponieważ sensowne jest rozpoczęcie od systemu, który jest łatwiejszy do opanowania, a trudniejszego nauczyć się później.
Po drugie, specyficzne cechy każdej reprezentacji wpływają na sposób, w jaki używamy systemu. Widzieliśmy, że użytkownicy systemu liczenia opartego na nazwach części ciała mają inną moc, jeśli chodzi o liczenie, niż użytkownicy systemu, który ma podstawę. W systemie z podstawą można liczyć w nieskończoność, podczas gdy bez podstawy nie jest to możliwe. Podobnie, ta sama osoba może radzić sobie znacznie lepiej podczas rozwiązywania problemów przy użyciu jednego systemu niż innego. Na przykład, jeśli musimy dodać długą listę liczb, lepiej byłoby użyć liczb pisemnych niż ustnych. Co więcej, samo zrozumienie, że suma jest tym, do czego dochodzimy, gdy łączymy dwa zbiory, nie wystarcza: potrzebujemy systemu liczbowego do wykonania obliczeń.
Podsumowanie
Nauka matematyki to nie tylko opanowanie logiki, ale także nauka konwencji, które są osadzone w naszej kulturze. Pomóżmy dzieciom zrozumieć te konwencje, aby mogły stać się sprawnymi i pewnymi siebie użytkownikami matematyki. Nauka tych kulturowych narzędzi nie jest tak prosta, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Chociaż sposób, w jaki używamy takich systemów reprezentacji, wydaje się nam, dorosłym, oczywisty, niekoniecznie musi takim być dla dzieci.